Cho họ các tập con (cho phép lặp lại) A1, A2, ..., An của tập phổ dụng S, nguyên lý bao hàm-loại trừ tính số các phần tử thuộc S mà không nằm trong bất kỳ tập con nào trong họ này. Dạng tổng quát của khái này sẽ tính số các phần thuộc S và thuộc duy nhất m tập con.

Gọi N = [n] = {1,2,…,n}. Nếu ta định nghĩa A ∅ = S {\displaystyle A_{\emptyset }=S} , thì nguyên lý bao hàm-loại trừ có thể viết lại như sau sử dụng ký hiệu trong đoạn trước: số các phần tử thuộc S nhưng không thuộc bất kỳ Ai là:

∑ J ⊆ [ n ] ( − 1 ) | J | | A J | . {\displaystyle \sum _{J\subseteq [n]}(-1)^{|J|}|A_{J}|.}

Nếu I là tập con cố định của tập chỉ số N, thì số phần tử thuộc Ai với mọi i thuộc I và không phần tử khác thuộc về là:[9]

∑ I ⊆ J ( − 1 ) | J | − | I | | A J | . {\displaystyle \sum _{I\subseteq J}(-1)^{|J|-|I|}|A_{J}|.}

Định nghĩa các tập sau

B k = A I ∪ { k }  với  k ∈ N ∖ I . {\displaystyle B_{k}=A_{I\cup \{k\}}{\text{ với }}k\in N\smallsetminus I.}

Để tính số các phần tử không thuộc bất kỳ Bk nào, thì theo nguyên lý bao hàm-loại trừ (với B ∅ = A I {\displaystyle B_{\emptyset }=A_{I}} ), bằng với

∑ K ⊆ N ∖ I ( − 1 ) | K | | B K | . {\displaystyle \sum _{K\subseteq N\smallsetminus I}(-1)^{|K|}|B_{K}|.}

Tương ứng K ↔ J = I ∪ K giữa các tập con của N \ I và các tập con của N có chứa I là song ánh và nếu J và K tương ứng với nhau dưới ánh xạ này thì BK = AJ, cho thấy kết quả hợp lệ.